Von einer Aufgabe zur nächsten: Über Kernaufgaben und Beziehungen das Einmaleins erschließen
Bei der Erarbeitung der Multiplikation in Klasse 2 führen die Schülerinnen und Schüler gleichartige Handlungen mehrfach aus (zeitlich-sukzessiv), untersuchen Anordnungen und Punktebilder mit Gruppen aus jeweils gleich vielen Elementen (räumlich-simultan), beschreiben die Zusammenhänge in Worten und notieren passende Malaufgaben.
Dabei werden Handlungen, Bilder und Malaufgaben aufeinander bezogen. Die Kinder beschreiben und erklären, was sie tun, sehen oder als Malaufgabe notieren:
- „Ich hole viermal jeweils drei Äpfel.“
- „Ich sehe fünf Reihen mit jeweils acht Punkten. Das sind fünf mal acht Punkte.“
Lehrkraft und Kinder begleiten die gesamte Erarbeitung sprachlich. Während der sich wiederholenden Teilhandlungen wird kommentiert, dass jedes Mal drei Äpfel geholt werden. Beim parallelen Dokumentieren wird nach jeder Handlung eine weitere Dreiergruppe notiert. Dazu wird beschrieben, dass jeweils drei Äpfel hinzukommen. Im Rückblick wird zusammengefasst: „Ich habe viermal Äpfel geholt. Jedes Mal habe ich drei Äpfel mitgebracht. Das sind viermal drei Äpfel.“
Kernaufgaben erschließen und nutzen
Bei der weiteren Erarbeitung des Einmaleins spielen die Kernaufgaben mit 1, 2, 5 und 10 eine besondere Rolle. Sie lassen sich über überschaubare Zahlbeziehungen erschließen: Bei den Einmal-Aufgaben entspricht das Ergebnis dem zweiten Faktor, bei den Zweimal-Aufgaben dessen Doppeltem. Zehnmal-Aufgaben knüpfen an die Zehnerbündelung an. Die Fünfmal-Aufgaben lassen sich durch Halbieren der entsprechenden Zehnmal-Aufgaben erschließen.
Damit bilden die Kernaufgaben Ausgangs- und Stützpunkte beim Erarbeiten des Einmaleins. Mit ihrer Hilfe können noch unbekannte Malaufgaben auf bereits erarbeitete Aufgaben zurückgeführt werden.
Auf dieser Grundlage lassen sich Aufgabenbeziehungen untersuchen und unterschiedliche Lösungswege erarbeiten:
- Zählen in Schritten und fortgesetzte Addition als erste Zugänge.
- Ableiten weiterer Ergebnisse mithilfe von Tausch- und Nachbaraufgaben sowie durch Verdoppeln und Halbieren.
- Zerlegen unbekannter Aufgaben in bekannte Teilaufgaben und Zusammensetzen der Ergebnisse.
- Gegensinniges Verändern: einen Faktor verdoppeln, den anderen halbieren, das Ergebnis bleibt gleich (z. B. 4 · 4 = 2 · 8).
Ziel ist es, dass die Kinder Ergebnisse der Kernaufgaben sicher abrufen können, um daraus die Ergebnisse weiterer Malaufgaben abzuleiten. Entsprechende Anforderungen finden sich in den Bildungsstandards für das Ende der Jahrgangsstufe 4 sowie in den Lehrplänen für den Anfangsunterricht:
- Bildungsstandards Mathematik für den Primarbereich (2022): Die Kinder „beherrschen die Grundaufgaben des Kopfrechnens […] gedächtnismäßig“ und „verstehen mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien […] und setzen diese flexibel ein“.
- Sachsen, Mathematik 1/2: „Beherrschen der Kernaufgaben der Multiplikation und Division“ sowie „Lösen von Multiplikations- und Divisionsaufgaben mit 2, 5 und 10“.
- Bayern, Mathematik 1/2: Die Kinder „wenden Kernaufgaben des kleinen Einmaleins […] automatisiert und flexibel an“ und „nutzen die Kernaufgaben des kleinen Einmaleins […] zur Lösung weiterer Aufgaben“.
Die Bedeutung von Aufgabenbeziehungen, unterschiedlichen Lösungswegen und Kernaufgaben für die Erarbeitung der Multiplikation beschreiben Radatz, Schipper, Dröge und Ebeling ausführlich im „Handbuch für den Mathematikunterricht im 2. Schuljahr“.
Aufgabenbeziehungen am Punktefeld entdecken
An Punktefeldern lassen sich die Aufgabenbeziehungen durch Ergänzen, Abdecken oder Zerlegen darstellen. Damit können die Kinder ihre Lösungswege erklären und begründen, wie das Zurückführen auf eine bekannte Aufgabe beim Lösen weiterer Aufgaben hilft.
Beispiel 6 · 8
Fünf Reihen mit je acht Punkten lassen sich mit der Malaufgabe 5 · 8 beschreiben. Wird eine Achterreihe ergänzt, entsteht das Punktefeld zu 6 · 8. Dazu kann ein Kind erklären: „Fünf mal acht ist gleich 40. Eine Achterreihe kommt dazu. Also ist sechs mal acht gleich 48.“
Beispiel 9 · 7
Das Abdecken einer Reihe führt von der bekannten Malaufgabe 10 · 7 aus zu 9 · 7. Von zehn Siebenerreihen bleiben neun sichtbar. Vom bekannten Ergebnis 70 werden sieben abgezogen.
Beispiel Halbieren und Verdoppeln
Neben Kernaufgaben können auch andere bereits erarbeitete Aufgaben als Ausgangspunkt dienen.
Das Punktefeld zu 6 · 8 lässt sich in zwei gleich große Teilfelder mit jeweils drei Achterreihen zerlegen. Jedes enthält die Hälfte der insgesamt 48 Punkte. Durch Halbieren lässt sich somit das Ergebnis von 3 · 8 bestimmen.
Umgekehrt lässt sich aus 3 · 8 durch Verdoppeln das Ergebnis von 6 · 8 ableiten. Die Anzahl der Reihen verdoppelt sich, die Anzahl der Punkte je Reihe bleibt gleich. Am Punktefeld wird dies durch zwei Gruppen mit jeweils drei Achterreihen deutlich.
Dem Zerlegen und Zusammensetzen liegt das Distributivgesetz zugrunde. Die Kinder müssen diesen Fachbegriff nicht kennen. Die Beziehungen sollen sie allerdings darstellen, beschreiben und erklären können.
Übungsformat: Von einer Aufgabe zur nächsten
Beim regelmäßigen Kopfrechnen lässt sich unmittelbar daran anknüpfen: Ein Kind erhält von der Lehrkraft oder einem anderen Kind nacheinander zwei zusammenhängende Aufgaben. Die erste Aufgabe wird so gewählt, dass das Kind sie bereits sicher lösen kann.
- Bekannte Aufgabe: „Wie viel ist 5 · 8?“
- Weiterführende Aufgabe: „Und wie viel ist 6 · 8?“
- Lösungsweg reflektieren: „Wie hilft dir die erste Aufgabe bei der zweiten?“
Das Kind erklärt die zusätzliche Achterreihe und zeigt sie bei Bedarf am Punktefeld. Ebenso könnten auf 10 · 7 die Aufgabe 9 · 7 oder auf 6 · 8 die Aufgabe 3 · 8 folgen.
Mit Aufgabenpaaren können die Kinder auch zusammenarbeiten. Dafür eignen sich selbst erstellte Aufgabenkarten: Auf der Vorderseite steht die zu lösende Malaufgabe, auf der Rückseite eine mögliche Herleitung aus einer bekannten Aufgabe, einem Punktebild oder einer Rechnung.
Die Ergebnisse des kleinen Einmaleins werden dabei zunehmend sicher abgerufen, ohne sie jedes Mal neu herleiten zu müssen. Zugleich sollen die Kinder an ausgewählten Aufgaben erklären können, wie sich Lösungen aus vorhandenem Wissen ableiten lassen. Beim vernetzenden Üben im kleinen Einmaleins werden daher zusammenhängende Aufgabenstellungen genutzt und Lösungswege begründet. Im Sinne einer unterrichtsbegleitenden pädagogischen Diagnostik wird gezielt nachgefragt:
- Welche bekannte Aufgabe hilft dir?
- Was fällt dir auf: Kommt etwas hinzu, fällt weg oder bleibt gleich?
- Beschreibe: Was verändert sich?
- Erkläre: Wie bist du vorgegangen?
Die Beschreibungen und Erklärungen geben dabei Auskunft darüber, inwieweit die Kinder Aufgabenbeziehungen erkennen und nutzen können.
Weiterführende Literaturhinweise
Zur Erarbeitung der Multiplikation, zum Entdecken von Aufgabenbeziehungen sowie zum verständnisorientierten Üben des Einmaleins:
- Eichler, K.-P. (2014): Multiplikation in der Grundschule. In: Maier, U. (Hrsg.): Lehr-Lernprozesse in der Schule: Praktikum. Fachdidaktische Anregungen für die Gestaltung und schriftliche Dokumentation von Unterricht, S. 15–38, Klinkhardt.
- Gaidoschik, M. (2014): Einmaleins verstehen, vernetzen, merken. Strategien gegen Lernschwierigkeiten. Kallmeyer / Klett.
- Gleißberg, S. & Eichler, K.-P. (2020): Gestern hab‘ ich‘s noch gewusst. Offensiv mit dem Vergessen von Grundaufgaben umgehen. In: Grundschulunterricht Mathematik, Heft 4, S. 21–24, Cornelsen.
- Padberg, F. & Benz, C. (2021): Didaktik der Arithmetik. Fundiert, vielseitig, praxisnah. 5. überarbeitete Auflage. Springer Spektrum.
- Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (1998): Handbuch für den Mathematikunterricht. 2. Schuljahr. Schroedel.
- Rathgeb-Schnierer, E. (2008): Ein Punktebild – viele Aufgaben. In: Grundschule Mathematik, Heft 17, S. 6–10, Friedrich Verlag.
- Rathgeb-Schnierer, E. & Rechtsteiner-Merz, Ch. (2010): Mathematiklernen in der jahrgangsübergreifenden Eingangsstufe. Gemeinsam, aber nicht im Gleichschritt. Oldenbourg Schulbuchverlag.
- Wittmann, E. Ch. & Müller, G. N. (2017): Handbuch produktiver Rechenübungen. Band 1: Vom Einspluseins zum Einmaleins. Neubearbeitung. Klett / Kallmeyer.
Zur Vernetzung von Handlungen, Bildern, Sprache und mathematischen Zeichen:
- Ruwisch, S. (2023): Mathe darstellend vernetzen. Die Kinder zur eigenständigen Entwicklung und Verbindung von Darstellungen zu mathematischen Begriffen anregen. In: Grundschule Mathematik, Heft 77: Darstellungen vernetzen, S. 2–3. Friedrich Verlag.
- Ruwisch, S. (2023): Übersetzen und vernetzen. Ein mathematisches Begriffsnetz durch Vergleichen, Übersetzen und Verbinden von Darstellungen aufbauen. In: Grundschule Mathematik, Heft 77: Darstellungen vernetzen, S. 4–7. Friedrich Verlag.
- Willms, M. (2023): Verständnisvolle Einführung des 1:1. Wie mit Darstellungswechseln ein Operationsverständnis aufgebaut werden kann. In: Grundschule Mathematik, Heft 77: Darstellungen vernetzen, S. 12–15. Friedrich Verlag.
Bildungsstandards und Lehrpläne:
- Kultusministerkonferenz (KMK) (2022): Bildungsstandards für das Fach Mathematik Primarbereich. Beschluss vom 15.10.2004 in der Fassung vom 23.06.2022. S. 14.
- Sächsisches Staatsministerium für Kultus (Hrsg.) (2026): Lehrplan Grundschule. Mathematik. Fassung 2004/2009/2019/2025/2026. S. 14–15.
- Bayerisches Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst (Hrsg.) (2014): LehrplanPLUS Grundschule. Mathematik 1/2, Lernbereich 1.2 „Im Zahlenraum bis Hundert rechnen und Strukturen nutzen“. S. 275–276.
Andreas Grajek
Letzte Aktualisierung: 19. Oktober 2026