Schulimpulse

Sachaufgaben durch Skizzen, Tabellen und Probieren lösen



Für das Lösen von Sachaufgaben benötigen Schülerinnen und Schüler Strategien. Diese werden von der Lehrkraft im Unterricht in realistischen Sachsituationen eingeführt und von den Kindern in ähnlichen Kontexten erprobt.

Im Unterricht der Grundschule eignet sich das Anfertigen von Skizzen, um den mathematischen Gehalt von Aufgaben darzustellen. Tabellen unterstützen das Lösen durch Probieren bis hin zum systematischen Probieren.

Eine geeignete exemplarische Aufgabe für die Nutzung von Tabellen im Mathematikunterricht einer 3. oder 4. Klasse zur übersichtlichen Visulisierung und Dokumentation des individuellen Lösungswegs beim (systematischen) Probieren ist:

Auf einem Kinderbauernhof entdecken die Schülerinnen und Schüler auf einer Wiese Kaninchen und Hühner. Zu sehen sind 5 Köpfe und 14 Beine.

Wie viele Kaninchen und wie viele Hühner sind auf der Wiese?

Vorgehen

Eine Skizze der Situation verdeutlicht die Aufgabe:

5 Köpfe (Hühner UND Kaninchen) sowie 14 Beine (Hühner UND Kaninchen). Die Zuordnung der Hühner- und Kaninchenköpfe ist nicht sicher.

Es folgt die Feststellung des nächsten Schrittes zur Lösung → Hühner haben zwei Beine und Kaninchen haben vier Beine. Eine Tabelle fasst zusammen:

Anzahl der Köpfe (insgesamt 5)Anzahl der Beine (insgesamt 14)
  

Nun wird (systematisch) probiert und immer wieder der Bezug zur Ausgangssituation hergestellt. Die folgende Tabelle fasst die mögliche Probierschritte zusammen:

Anzahl der Köpfe (insgesamt 5)Anzahl der Beine (insgesamt 14)
1 Huhn + 4 Kaninchen1·2 + 4·4 = 2 + 16 = 18 → 18 > 14
2 Hühner + 3 Kaninchen2·2 + 3·4 = 4 + 12 = 16 → 16 > 14
3 Hühner + 2 Kaninchen3·2 + 2·4 = 6 + 8 = 14 → richtige Lösung
4 Hühner + 1 Kaninchen4·2 + 1·4 = 8 + 4 = 12 → 12 < 14

Hinweise

Aufgaben wie diese lassen sich übersichtlich skizzieren und auf Grundlage des (systematischen) Probierens lösen. Immer wieder ist es hilfreich, sich an der Skizze der Ausgangssituation (Köpfe und Beine) zu orientieren und die Schritte des Probierens zu verbalisieren: „1 Huhn hat 2 Beine. 4 Kaninchen haben 16 Beine. Zusammen sind es zwar 5 Köpfe, aber 18 Beine. Das ist nicht die Lösung.“

Dabei werden Denkprozesse angeregt, die u.a. das Verständnis für funktionale Zusammenhänge schärfen oder den Mathematikunterricht der weiterführenden Schule vorbereiten. Die Kompetenzentwicklung vom Probieren hin zum systematischen Probieren erleichtert auch Betrachtungsweisen mathematischer Probleme, die z.B. eine zentrale Rolle im algorithmischen / informatorischen Denken spielen, welches später eine der Voraussetzungen für das Grundverständnis des Programmierens ist. Im Mathematikunterricht der Grundschule werden diese Kompetenzen als Beitrag zur Entwicklung des Denkens sowie für die Orientierung auch in der digitalen Welt „analog“ angebahnt.

Anknüpfungsmöglichkeiten für die weiterführende Schule

In der weiterführenden Schule werden Aufgaben wie die der Hühner und Kaninchen mit Gleichungen beschrieben:

Grundannahmen

  • x repräsentiert die Anzahl der Hühner, y repräsentiert die Anzahl der Kaninchen
  • Zusammen sind es 5 Köpfe: x + y = 5
  • Hühner und Kaninchen haben jeweils einen Kopf: y = 5 – x
  • Zusammen sind es 14 Beine. Hühner haben 2 Beine, Kaninchen haben 4 Beine: 2x + 4y = 14

Lösung

  • Zunächst wird y ersetzt: 2x + 5 – x = 14
  • Jetzt wird die Gleichung nach x aufgelöst:
2x + 4 (5 – x) = 14| Auflösen der Klammer
2x + 20 – 4x = 14|2x und – 4x wird zusammengeführt
-2x + 20 = 14| -20
-2x= -6| : -2
x = 3 
  • Da nun x bekannt ist, kann y bestimmt werden. y = 5 – x = 5 – 3 = 2.
  • Es sind 3 Hühner und 2 Kaninchen.

Einordnung der Aufgabe in die Bildungsstandards (Mathematik, Primarstufe)

Allgemeine mathematische Kompetenzen:

  • Problemlösen → Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.B. systematisch probieren)
  • Darstellen → für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen
  • Modellieren → Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen

Zahlen und Operationen
  • in Kontexten rechnen → Sachaufgaben lösen und dabei die Beziehungen zwischen der Sache und den einzelnen Lösungsschritten beschreiben; das Ergebnis auf Plausibilität prüfen; Sachaufgaben systematisch variieren
Muster und Strukturen
  • funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen → funktionale Beziehungen in Sachsituationen erkennen, sprachlich beschreiben […] und entsprechende Aufgaben lösen;  funktionale Beziehungen in Tabellen darstellen und untersuchen; einfache Sachaufgaben zur Proportionalität lösen

Aufgabe „Hühner und Kaninchen“ nach: König, Helmut

Letzte Aktualisierung: 12. April 2021

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