Sachaufgaben durch Skizzen, Tabellen und Probieren lösen
Für das Lösen von Sachaufgaben benötigen Lernende Strategien. Diese werden von der Lehrkraft im Unterricht in realistischen Sachsituationen eingeführt und von den Kindern in ähnlichen Kontexten erprobt.
Um den mathematischen Gehalt von Aufgaben zu erschließen, sind im Unterricht der Grundschule visuelle und strukturierende Hilfsmittel unverzichtbar. Das Anfertigen von Skizzen eignet sich, um Zusammenhänge sichtbar zu machen. Tabellen dokumentieren und strukturieren den Lösungsprozess vom Probieren bis hin zum systematischen Probieren.
Eine geeignete Aufgabe für die Erarbeitung dieser Strategien ab Klasse 2 ist das „Köpfe-Beine-Problem“:
Auf einem Kinderbauernhof entdecken die Schülerinnen und Schüler auf einer Wiese Kaninchen und Hühner. Zu sehen sind 5 Köpfe und 14 Beine.
Wie viele Kaninchen und wie viele Hühner sind auf der Wiese?
Vorgehen
Eine Skizze der Situation verdeutlicht die Aufgabe:
Es folgt die Feststellung des nächsten Schrittes zur Lösung:
Hühner haben zwei Beine und Kaninchen haben vier Beine.
Eine Tabelle fasst zusammen:
| Anzahl der Köpfe (insgesamt 5) | Anzahl der Beine (insgesamt 14) |
Nun wird (systematisch) probiert und immer wieder der Bezug zur Ausgangssituation hergestellt. Handlungen mit Material können unterstützend wirken und zur Visualisierung beitragen. Die folgende Tabelle fasst die möglichen Probierschritte zusammen:
| Anzahl der Köpfe (insgesamt 5) | Anzahl der Beine (insgesamt 14) |
| 1 Huhn + 4 Kaninchen | 1·2 + 4·4 = 2 + 16 = 18 → 18 > 14 |
| 2 Hühner + 3 Kaninchen | 2·2 + 3·4 = 4 + 12 = 16 → 16 > 14 |
| 3 Hühner + 2 Kaninchen | 3·2 + 2·4 = 6 + 8 = 14 → richtige Lösung |
| 4 Hühner + 1 Kaninchen | 4·2 + 1·4 = 8 + 4 = 12 → 12 < 14 |
Hinweise
Derartige Aufgaben lassen sich übersichtlich skizzieren und auf Grundlage des (systematischen) Probierens lösen. Immer wieder ist es hilfreich, sich an der Skizze der Ausgangssituation (Köpfe und Beine) zu orientieren und die Schritte des Probierens zu verbalisieren:
„1 Huhn hat 2 Beine. 4 Kaninchen haben 16 Beine. Zusammen sind es zwar 5 Köpfe, aber 18 Beine. Das ist nicht die Lösung.“
Dabei werden Denkprozesse angeregt, die u.a. das Bewusstsein für funktionale Zusammenhänge schärfen und das Verständnis von Inhalten des Mathematikunterrichts der weiterführenden Schule vorbereiten. Die Kompetenzentwicklung vom Probieren hin zum systematischen Probieren erleichtert auch Betrachtungsweisen mathematischer Probleme, die z.B. eine zentrale Rolle im algorithmischen / informatorischen Denken spielen, welches später eine der Voraussetzungen für das Grundverständnis des Programmierens ist. Im Mathematikunterricht der Grundschule werden diese Kompetenzen als Beitrag zur Entwicklung des Denkens sowie für die Orientierung auch in der digitalen Welt „analog“ angebahnt.
Vgl.: Kaprekar-Konstante, Collatz-Problem, Goldbachsche Vermutung
Anknüpfungsmöglichkeiten für die weiterführende Schule
In der weiterführenden Schule werden Aufgaben wie die der Hühner und Kaninchen mit Gleichungen beschrieben. Dies setzt ein in der Grundschule entwickeltes Grundverständnis für die Mathematisierung von Sachsituationen voraus, einschließlich der entsprechenden Strategien, der sprachlichen Beschreibung sowie der strukturierten Darstellung des Lösungswegs.
Grundannahmen
- x repräsentiert die Anzahl der Hühner, y repräsentiert die Anzahl der Kaninchen
- Zusammen sind es 5 Köpfe: x + y = 5
- Daraus folgt für die Kaninchen: y = 5 – x
- Zusammen sind es 14 Beine. Hühner haben 2 Beine, Kaninchen haben 4 Beine: 2x + 4y = 14
Lösung
- Zunächst wird y ersetzt: 2x + 4(5 – x) = 14
- Jetzt wird die Gleichung nach x aufgelöst:
| 2x + 4(5 – x) = 14 | | Auflösen der Klammer |
| 2x + 20 – 4x = 14 | | 2x und – 4x werden zusammengeführt |
| -2x + 20 = 14 | | -20 |
| -2x= -6 | | : -2 |
| x = 3 |
- Da nun x bekannt ist, kann y bestimmt werden. y = 5 – x = 5 – 3 = 2.
- Ergebnis: Es sind 3 Hühner und 2 Kaninchen.
Einordnung der Aufgabe in die Bildungsstandards (KMK, Mathematik Primarstufe)
Allgemeine mathematische Kompetenzen:
- Problemlösen → Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.B. systematisch probieren)
- Darstellen → für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen
- Modellieren → Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen
Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
Zahlen und Operationen
- in Kontexten rechnen → Sachaufgaben lösen und dabei die Beziehungen zwischen der Sache und den einzelnen Lösungsschritten beschreiben; das Ergebnis auf Plausibilität prüfen; Sachaufgaben systematisch variieren
Muster und Strukturen
- funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen → funktionale Beziehungen in Sachsituationen erkennen, sprachlich beschreiben […] und entsprechende Aufgaben lösen; funktionale Beziehungen in Tabellen darstellen und untersuchen; einfache Sachaufgaben zur Proportionalität lösen
Literaturhinweis
Die Relevanz dieser Aufgaben für die mathematische Kompetenzentwicklung wird auch in der aktuellen Forschung betont. In ihrer Studie „Partizipation und Wissensaufbau beim Lösen von Textaufgaben“ greift Iris Tanner diesen Beitrag von Schulimpulse auf. Sie analysiert anhand von Problemlösedialogen unter Kindern (unter anderem am Beispiel einer Variation der Hühner-und-Kaninchen-Aufgabe mit 35 Köpfen und 94 Beinen), wie durch die Kommunikation über Strategien ein tiefgründiges mathematisches Verständnis entsteht. Das Buch ist als Open-Access-Publikation frei verfügbar und bietet spannende Einblicke in die Denkprozesse von Lernenden:
Tanner, I. (2024): Partizipation und Wissensaufbau beim Lösen von Textaufgaben. Eine interaktions- und aufgabenbezogene Analyse von Problemlösedialogen. Springer. DOI: 10.1007/978-3-658-45779-2
Andreas Grajek, Aufgabe „Hühner und Kaninchen“ nach Helmut König
Letzte Aktualisierung: 28. Dezember 2025